Question

7．若偶函數(shù)f（x），當(dāng)x∈R⁺時(shí)，滿足f′（x）＞$\frac{f（x）}{x}$，且f（1）=0，則不等式$\frac{f（x）}{x}$≥0的解集是[-1，0）∪[1，+∞）．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x），求出g（x）的單調(diào)性和奇偶性，從而求出不等式的解集即可．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
x∈R⁺時(shí)，滿足f′（x）＞$\frac{f（x）}{x}$，即xf′（x）-f（x）＞0，
故x＞0時(shí)，g（x）遞增，
而f（x）=f（x），故g（-x）=-g（x），g（x）是奇函數(shù)，
故g（x）在（-∞，0）遞增，
由f（0）=0，解不等式$\frac{f（x）}{x}$≥0，得：x≥1或-1≤x＜0，
故答案為：[-1，0）∪[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性問題，考查解不等式問題，是一道中檔題．