Question

11．如圖：在一個(gè)奧運(yùn)場(chǎng)館建設(shè)現(xiàn)場(chǎng)，現(xiàn)準(zhǔn)備把一個(gè)半徑為$\sqrt{3}$m的球形工件吊起平放到6m高的平臺(tái)上，工地上有一個(gè)吊臂長(zhǎng)DF=12m的吊車，吊車底座FG高1.5m．當(dāng)物件與吊臂接觸后，鋼索CD長(zhǎng)可通過頂點(diǎn)D處的滑輪自動(dòng)調(diào)節(jié)并保持物件始終與吊臂接觸．求物件能被吊車吊起的最大高度，并判斷能否將該球形工件吊到平臺(tái)上？

Answer 1

分析 吊車能把球形工件吊上的高度y取決于吊臂的張角θ，求出y=12sinθ$-\frac{\sqrt{3}}{cosθ}$$-\sqrt{3}$+1.5，通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出極值點(diǎn)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求解函數(shù)的最值．

解答 解：吊車能把球形工件吊上的高度y取決于吊臂的張角θ，由圖可知，$y=AB+1.5=AD-OD-OB+1.5=DFsinθ-\frac{{\sqrt{3}}}{cosθ}-\sqrt{3}+1.5=12sinθ-\frac{{\sqrt{3}}}{cosθ}-\sqrt{3}+1.5$
…（5分）
所以${y^/}=12cosθ-\frac{{\sqrt{3}•sinθ}}{{{{cos}^2}θ}}$，…（8分）
由y′=0，得$12cosq=\frac{{\sqrt{3}sinθ}}{{{{cos}^2}θ}}，4\sqrt{3}{cos^3}θ=sinθ$∴$4\sqrt{3}=tanθ（1+{tan^2}θ），{tan^3}θ+tanθ-4\sqrt{3}=0，{tan^3}θ-{（\sqrt{3}）^3}+tanθ-\sqrt{3}=0$$（tanθ-\sqrt{3}）（{tan^2}θ-\sqrt{3}tanθ+4）=0$，∴$tanθ=\sqrt{3}，θ={60^0}$，…（12分）
當(dāng)0⁰＜θ＜60⁰時(shí)，12${cos^3}θ＞\frac{3}{2}，\sqrt{3}sinθ＜\frac{3}{2}$，
∴y′＞0
同理，當(dāng)60⁰＜θ＜90⁰時(shí)，y'＜0，
所以當(dāng)當(dāng)0⁰＜θ＜60⁰時(shí)，y單調(diào)遞增，當(dāng)60⁰＜θ＜90⁰時(shí)，y單調(diào)遞減，
所以θ=60⁰時(shí)，y取最大值．…（14分
${y_{max}}=12sinθ-\frac{{\sqrt{3}}}{cosθ}-\sqrt{3}+1.5=3\sqrt{3}+1.5≈6.6（m）$
所以吊車能把圓柱形工件吊起平放到6m高的橋墩上．…（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值以及單調(diào)性的判斷，考查分析問題解決問題的能力．