（2012•許昌三模）已知點A（-2，0），B（2，0）直線PA與直線PB斜率之積為-
3
4
，記點P的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求曲線c的方程；
（Ⅱ）設M，N是曲線C上任意兩點，且|
OM
-
ON
|=|
OM
+
ON
|，是否存在以原點為圓心且與MN總相切的圓？若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由．
分析：（Ⅰ）設P（x，y），則由直線PA與直線PB斜率之積為-
3
4
，建立等式，即可求曲線C的方程；
（Ⅱ）若|
OM
-
ON
|=|
OM
+
ON
|，則
OM
⊥
ON
．分斜率存在與不存在，結合橢圓的方程，利用韋達定理，可得原點O到直線MN的距離恒為d=
12
7
，從而存在以原點為圓心且與MN總相切的圓．
解答：解：（Ⅰ）設P（x，y），則由直線PA與直線PB斜率之積為-
3
4
，得
y
x+2
×
y
x-2
=-
3
4
(x≠±2)．
整理得曲線C的方程為
x2
4
+
y2
3
=1(x≠±2)．----（4分）
（Ⅱ）若|
OM
-
ON
|=|
OM
+
ON
|，則
OM
⊥
ON
．
設M（x1，y1），N（x2，y2）．
若直線MN斜率不存在，則N（x1，-y1）．
由
OM
⊥
ON
得
y1
x1
×
-y1
x1
=-1，又
x12
4
+
y12
3
=1，∴x1=±
12
7
，
∴直線MN方程為x=±
12
7
．
∴原點O到直線MN的距離d=
12
7
．----（6分）
若直線MN斜率存在，設方程為y=kx+m與橢圓方程聯(lián)立，消去y可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0．
∴x1+x2=
-8km
4k2+3
，x1x2=
4m2-12
4k2+3
．（*）----（8分）
由
OM
⊥
ON
得
y1
x1
×
y2
x2
=-1，整理得（k2+1）x1x2+km（x1+x2）+m2=0．
（*）式代入：（k2+1）×
4m2-12
4k2+3
+km×
-8km
4k2+3
+m2=0
解得7m2=12（k2+1）．----（10分）
此時原點O到直線MN的距離d=
|m|
k2+1
=
12
7
．
故原點O到直線MN的距離恒為d=
12
7
．
∴存在以原點為圓心且與MN總相切的圓，方程為x2+y2=
12
7
．----（12分）
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查向量知識的運用，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，正確運用韋達定理是關鍵．
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x2+y2=8
．

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3
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