Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，為正三角形，，為線段的中點(diǎn)．

（1）證明：平面；

（2）若，求二面角的大小．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）．

【解析】

（1）根據(jù)為正三角形及為線段的中點(diǎn)可知，再由所給線段長(zhǎng)度及勾股定理逆定理證明，即可由線面垂直的判定定理證明平面；

（2）以為原點(diǎn)，分別以，，為，，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合可求得的坐標(biāo)，由空間向量法求得平面的法向量及平面的法向量，由空間向量法即可求得二面角的余弦值，進(jìn)而求得二面角的大小．

（1）證明：連接，如下圖所示：

∵是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且是中點(diǎn)，

∴，，

又∵是邊長(zhǎng)為2的菱形，，

∴是正三角形，，

又∵，

∴，即，又，，

∴平面．

（2）由（1）可得：以為原點(diǎn)，分別以，，為，，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示

則，，，，．

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由，得

，

∴，

∴，，

設(shè)平面的法向量為，

則，令z=1，得．

∵平面，

∴平面的法向量，

∴，

由空間結(jié)構(gòu)體圖形可知，二面角為銳二面角，

∴二面角的大小為．