【題目】在底面為菱形的四棱柱中，平面.

（1）證明：平面；

（2）求二面角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）由已知可證，即可證明結(jié)論；

（2）根據(jù)已知可證平面，建立空間直角坐標(biāo)系，求出坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面和平面的法向量坐標(biāo)，由空間向量的二面角公式，即可求解.

方法一：（1）依題意，且∴，

∴四邊形是平行四邊形，∴，

∵平面，平面，

∴平面.

（2）∵平面，∴，

∵且為的中點(diǎn)，∴，

∵平面且，

∴平面，

以為原點(diǎn)，分別以為軸、軸、軸的正方向，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，

∴

設(shè)平面的法向量為，

則，∴，取，則.

設(shè)平面的法向量為，

則，∴，取，則.

∴，

設(shè)二面角的平面角為，則，

∴二面角的正弦值為.

方法二：（1）證明：連接交于點(diǎn)，

因?yàn)樗倪呅?/span>為平行四邊形，所以為中點(diǎn)，

又因?yàn)樗倪呅?/span>為菱形，所以為中點(diǎn)，

∴在中，且，

∵平面，平面，

∴平面

（2）略，同方法一.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】自2017年起，全國(guó)各省市陸續(xù)實(shí)施了新高考，許多省市采用了“”的選科模式，即：考生除必考的語數(shù)外三科外，再?gòu)奈锢砘瘜W(xué)生物歷史地理政治六個(gè)學(xué)科中，任意選取三科參加高考，為了調(diào)查新高考中考生的選科情況，某地調(diào)查小組對(duì)某中學(xué)進(jìn)行了一次調(diào)查，研究考生選擇化學(xué)與選擇物理是否有關(guān)．已知在調(diào)查數(shù)據(jù)中，選物理的考生與不選物理的考生人數(shù)相同，其中選物理且選化學(xué)的人數(shù)占選物理人數(shù)的，在不選物理的考生中，選化學(xué)與不選化學(xué)的人數(shù)比為．

（1）若在此次調(diào)查中，選物理未選化學(xué)的考生有100人，將選物理且選化學(xué)的人數(shù)占選化學(xué)總?cè)藬?shù)的比作為概率，從該中學(xué)選化學(xué)的考生中隨機(jī)抽取4人，記這4人中選物理且選擇化學(xué)的考生人數(shù)為，求的分布列(用排列數(shù)組合數(shù)表示即可)和數(shù)學(xué)期望．

（2）若研究得到在犯錯(cuò)誤概率不超過0．01的前提下，認(rèn)為選化學(xué)與選物理有關(guān)，則選物理且選化學(xué)的人數(shù)至少有多少？(單位：百人，精確到0．01)

附：，其中．

0．100

0．050

0．010

0．001

2．706

3．841

6．635

10．828

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，動(dòng)直線與橢圓交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).為坐標(biāo)原點(diǎn)，是中點(diǎn).

（1）若，求的面積；

（2）若試探究是否存在常數(shù)，使得是定值？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了了解游客的情況，以便制定相應(yīng)的策略，在某月中隨機(jī)抽取甲、乙兩個(gè)景點(diǎn)各10天的游客數(shù)，畫出莖葉圖如圖：

（1）若景點(diǎn)甲中的數(shù)據(jù)的中位數(shù)是125，景點(diǎn)乙中的數(shù)據(jù)的平均數(shù)是124，求x，y的值；

（2）若將圖中景點(diǎn)甲中的數(shù)據(jù)作為該景點(diǎn)較長(zhǎng)一段時(shí)期內(nèi)的樣本數(shù)據(jù).今從這段時(shí)期中任取4天，記其中游客數(shù)超過120人的天數(shù)為，求概率；

（3）現(xiàn)從如圖所示的共20天的數(shù)據(jù)中任取2天的數(shù)據(jù)（甲、乙兩景點(diǎn)中各取1天），記其中游客數(shù)不低于115且不高于125人的天數(shù)為，求的分布列和期望.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】

設(shè)函數(shù)

（Ⅰ）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，1和是的兩個(gè)不同零點(diǎn)，且

且，求的值；

（Ⅱ）若對(duì)任意, 都存在（ 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），使得

成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了拓展城市的旅游業(yè)，實(shí)現(xiàn)不同市區(qū)間的物資交流，政府決定在市與市之間建一條直達(dá)公路，中間設(shè)有至少8個(gè)的偶數(shù)個(gè)十字路口，記為，現(xiàn)規(guī)劃在每個(gè)路口處種植一顆楊樹或者木棉樹，且種植每種樹木的概率均為.

（1）現(xiàn)征求兩市居民的種植意見，看看哪一種植物更受歡迎，得到的數(shù)據(jù)如下所示：

A市居民

B市居民

喜歡楊樹

300

200

喜歡木棉樹

250

250

是否有的把握認(rèn)為喜歡樹木的種類與居民所在的城市具有相關(guān)性；

（2）若從所有的路口中隨機(jī)抽取4個(gè)路口，恰有個(gè)路口種植楊樹，求的分布列以及數(shù)學(xué)期望；

（3）在所有的路口種植完成后，選取3個(gè)種植同一種樹的路口，記總的選取方法數(shù)為，求證：.

附：

0.100

0.050

0.010

0.001

2.706

3.841

6.635

10.828

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，底面為直角梯形，∥，，，，為的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明：∥平面；

（Ⅱ）若，求直線與平面所成角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】甲、乙兩位同學(xué)參加某個(gè)知識(shí)答題游戲節(jié)目，答題分兩輪，第一輪為“選題答題環(huán)節(jié)”第二輪為“輪流坐莊答題環(huán)節(jié)”.首先進(jìn)行第一輪“選題答題環(huán)節(jié)”，答題規(guī)則是：每位同學(xué)各自從備選的5道不同題中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行答題，答對(duì)一題加10分，答錯(cuò)一題（不答視為答錯(cuò)）減5分，已知甲能答對(duì)備選5道題中的每道題的概率都是，乙恰能答對(duì)備選5道題中的其中3道題；第一輪答題完畢后進(jìn)行第二輪“輪流坐莊答題環(huán)節(jié)”，答題規(guī)則是：先確定一人坐莊答題，若答對(duì)，繼續(xù)答下一題…，直到答錯(cuò)，則換人（換莊）答下一題…以此類推.例如若甲首先坐莊，則他答第1題，若答對(duì)繼續(xù)答第2題，如果第2題也答對(duì)，繼續(xù)答第3題，直到他答錯(cuò)則換成乙坐莊開始答下一題，…直到乙答錯(cuò)再換成甲坐莊答題，依次類推兩人共計(jì)答完20道題游戲結(jié)束，假設(shè)由第一輪答題得分期望高的同學(xué)在第二輪環(huán)節(jié)中最先開始作答，且記第道題也由該同學(xué)（最先答題的同學(xué)）作答的概率為（），其中，已知供甲乙回答的20道題中，甲，乙兩人答對(duì)其中每道題的概率都是，如果某位同學(xué)有機(jī)會(huì)答第道題且回答正確則該同學(xué)加10分，答錯(cuò)（不答視為答錯(cuò)）則減5分，甲乙答題相互獨(dú)立；兩輪答題完畢總得分高者勝出.回答下列問題

（1）請(qǐng)預(yù)測(cè)第二輪最先開始作答的是誰？并說明理由

（2）①求第二輪答題中，；

②求證為等比數(shù)列，并求（）的表達(dá)式.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍；

（2）若兩個(gè)極值點(diǎn)，試判斷與的大小關(guān)系并證明.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案