Question

7．已知不等式|x-3|+|x-4|＜a
（1）當a=2時，解此不等式；
（2）若|x-3|+|x-4|＜a解集為∅，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先分類討論，根據(jù)x的范圍先去掉絕對值然后再根據(jù)絕對值不等式的解法進行求解．
（2）作出y=|x-3|+|x-4|與y=a的圖象，使|x-3|+|x-4|＜a解集為空集只須y=|x-3|+|x-4|圖象在y=a的圖象的上方，從而求出a的范圍．

解答 解：（1）原不等式|x-3|+|x-4|＜2
當x＜3時，原不等式化為7-2x＜2，解得x＞$\frac{5}{2}$，∴$\frac{5}{2}$＜x＜3，
當3≤x≤4時，原不等式化為1＜2，∴3≤x≤4
當x＞4時，原不等式化為2x-7＜2，解得x＜$\frac{9}{2}$，∴4＜x＜$\frac{9}{2}$；
綜上，原不等式解集為{x|$\frac{5}{2}$＜x＜$\frac{9}{2}$}；（5分）
（2）法一、作出y=|x-3|+|x-4|與y=a的圖象，
如圖所示：

若使|x-3|+|x-4|＜a解集為空集只須y=|x-3|+|x-4|圖象在y=a的圖象的上方，
或y=a與y=1重合，∴a≤1
所以，a的范圍為（-∞，1]，（10分）
法二、：y=|x-3|+|x-4|=$\left\{\begin{array}{l}{2x-7，x≥4}\\{1，3≤x≤4}\\{7-2x，x＜3}\end{array}\right.$，
當x≥4時，y≥1
當3≤x＜4時，y=1
當x＜3時，y＞1
綜上y≥1，原問題等價為a≤[|x-3|+|x-4|]_min
∴a≤1（10分）
法三、：∵|x-3|+|x-4|≥|x-3-x+4|=1，
當且僅當（x-3）（x-4）≤0時，上式取等號
∴a≤1．

點評 此題考查絕對值不等式的解法，運用了分類討論的思想，解題的關鍵是去掉絕對值，此類題目是高考常見的題型．