Question

12．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角為A，B，C，其所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，若滿足向量$\overrightarrow m$=（b-a，c-a），$\overrightarrow n$=（a+c，b）共線，則$\sqrt{3}$tanAtanB-tanA-tanB等于（　�。�

• A． $-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $-\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)向量平行建立三角形邊長(zhǎng)之間的關(guān)系，然后利用余弦定理進(jìn)行求解C，利用兩角和與差的正切函數(shù)求解即可．

解答 解：∵向量$\overrightarrow m$=（b-a，c-a），$\overrightarrow n$=（a+c，b）共線．
則（a+c）（c-a）-b（b-a）=0，
即a²-c²-ab+b²=0，
即a²-c²+b²═ab，
∴由余弦定理得cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
∵0＜C＜π，
∴C=$\frac{π}{3}$，
tanC=-tan（A+B）=$-\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=$\sqrt{3}$
則$\sqrt{3}$tanAtanB-tanA-tanB=$\sqrt{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查余弦定理的應(yīng)用和平面向量平行的坐標(biāo)應(yīng)用，兩角和與差的三角函數(shù)，考查學(xué)生的計(jì)算能力．