Question

【題目】設(shè)橢圓C： 的左焦點為F，過點F的直線與橢圓C相交于A，B兩點，直線l的傾斜角為60°， ．

（1）求橢圓C的離心率；
（2）如果|AB|= ，求橢圓C的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由題意知y1＞0，y2＜0

直線l的方程為 ，其中 ．

聯(lián)立 得 ．

解得 ， ．

因為 ，所以﹣y1=2y2．即﹣ =2 ，

解得離心率

（2）解：因為 ，∴ ．

由 得 ，所以 ，解得a=3， ．

故橢圓C的方程為 ．

【解析】（1）點斜式設(shè)出直線l的方程，代入橢圓，得到A、B的縱坐標(biāo)，再由 ，求出離心率．（2）利用弦長公式和離心率的值，求出橢圓的長半軸、短半軸的值，從而寫出標(biāo)準(zhǔn)方程．
【考點精析】本題主要考查了直線的傾斜角和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識點，需要掌握當(dāng)直線l與x軸相交時, 取x軸作為基準(zhǔn), x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.特別地,當(dāng)直線l與x軸平行或重合時, 規(guī)定α=0°；橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能正確解答此題．