Question

11．已知f（x）=3|x+2|-|x-4|．
（Ⅰ）求不等式f（x）＞2的解集；
（Ⅱ）設(shè)m，n，k為正實(shí)數(shù)，且m+n+k=f（0），求證：mn+mk+nk≤$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 （I）f（x）=3|x+2|-|x-4|．對(duì)x分類討論：當(dāng)x＜-2時(shí)；當(dāng)-2≤x≤4時(shí)；當(dāng)x＞4時(shí)，即可得出不等式的解集．
（II）由m+n+k=f（0）=2，m，n，k為正實(shí)數(shù)，平方展開(kāi)可得：m²+n²+k²+2mn+2mk+2nk=4，m²+n²+k²=4-2（mn+mk+nk），利用重要不等式的性質(zhì)可得：m²+n²+k²≥mn+nk+mk，代入解出即可得出．

解答 解：（I）∵f（x）=3|x+2|-|x-4|．
當(dāng)x＜-2時(shí)，-3（x+2）+（x-4）＞2，解得x＜-6．
∴x＜-6
當(dāng)-2≤x≤4時(shí)，3（x+2）+（x-4）＞2，解得x＞0，
∴0＜x≤4．
當(dāng)x＞4時(shí)，3（x+2）-（x-4）＞2，解得x＞-4，
∴x＞4．
綜上可得：不等式的解集是{x|x＜-6，或x＞0}．
證明：（II）m+n+k=f（0）=2，m，n，k為正實(shí)數(shù)，
∴（m+n+k）²=4，展開(kāi)可得：m²+n²+k²+2mn+2mk+2nk=4，
∴m²+n²+k²=4-2（mn+mk+nk），
∵m²+n²≥2mn，m²+k²≥2mk，n²+k²≥2nk，
∴m²+n²+k²≥mn+nk+mk，
∴4-2（mn+mk+nk）≥mn+nk+mk，
∴mn+mk+nk$≤\frac{4}{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)m=n=k=$\frac{2}{3}$時(shí)取等號(hào)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值不等式的解法、重要不等式應(yīng)用、乘法公式、不等式的解法，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．