Question

3．已知三棱錐A-BCD的各棱長都相等，E為BC中點，則異面直線AB與DE所成角的余弦值為（　　）

• A． $\frac{5\sqrt{3}}{6}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{6}$
• C． $\frac{\sqrt{33}}{6}$
• D． $\sqrt{11}$

Answer 1

分析 取AC中點O，連結DO，EO，則EO∥AB，從而∠DEO是異面直線AB與DE所成角（或所成角的補角），由此利用余弦定理能求出異面直線AB與DE所成角的余弦值．

解答 解：取AC中點O，連結DO，EO，
∵三棱錐A-BCD的各棱長都相等，E為BC中點，
∴EO∥AB，∴∠DEO是異面直線AB與DE所成角（或所成角的補角），
設三棱錐A-BCD的各棱長為2，
則DE=DO=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，OE=1，
∴cos∠DEO=$\frac{D{E}^{2}+O{E}^{2}-D{O}^{2}}{2×DE×OE}$=$\frac{3+1-3}{2×\sqrt{3}×1}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴異面直線AB與DE所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
故選：B．

點評 本題考查異面直線所成角的余弦值求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想，是基礎題．