Question

19．已知A、B分別為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右頂點(diǎn)，P為雙曲線上一點(diǎn)，且△ABP為等腰三角形，若雙曲線的離心率為$\sqrt{2}$，則∠ABP的度數(shù)為（　�。�

• A． 30°
• B． 60°
• C． 120°
• D． 30°或120°

Answer 1

分析 雙曲線的離心率為$\sqrt{2}$，則a=b，雙曲線方程為x²-y²=a²，利用△ABP為等腰三角形，分類討論，即可求出∠ABP的度數(shù)．

解答 解：雙曲線的離心率為$\sqrt{2}$，則a=b，雙曲線方程為x²-y²=a²，
若|AB|=|BP|=2a，設(shè)P（m，n），則$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-{n}^{2}={a}^{2}}\\{（m-a）^{2}+{n}^{2}=4{a}^{2}}\end{array}\right.$，
∴m=2a，∴∠PBx=60°，∴∠ABP=120°；
若|AB|=|AP|=2a，設(shè)P（m，n），則$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-{n}^{2}={a}^{2}}\\{（m+a）^{2}+{n}^{2}=4{a}^{2}}\end{array}\right.$，
∴m=-2a，∴∠PAB=120°，∴∠ABP=30°，
故選D．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用雙曲線的性質(zhì)和直線方程的知識，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．