Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²在x=-1時取得極值，曲線y=f（x）在x=1處的切線的斜率為12；函數(shù)g（x）=f（x）+mx，x∈[1，+∞），函數(shù)g（x）的導函數(shù)g'（x）的最小值為0．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求實數(shù)m的值；
（Ⅲ） 求證：g（x）≥-7．

Answer 1

分析：（I）求出f（x）的導數(shù)，令導數(shù)在-1處的值為0，在x=1處的值為12，列出方程組，求出a，b的值．
（II）求出g（x）的導函數(shù)，求出導函數(shù)的對稱軸，判斷出g'（x）的單調(diào)性，求出導函數(shù)的最小值，列出方程，求出m
（III）利用導函數(shù)的符號，判斷出g（x）的單調(diào)性，求出g（x）的最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ax³+bx²，
∴f'（x）=3ax²+2bx．
由題意有

f′(-1)=3a-2b=0 f′(1)=3a+2b=12

，
解得

a=2 b=3

．
∴函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=2x³+3x²．
（Ⅱ）g（x）=f（x）+mx=2x³+3x²+mx，x∈[1，+∞），
g′(x)=6x2+6x+m=6(x+

1

2

)2-

3

2

+m在[1，+∞）單調(diào)遞增
∴[g'（x）]_min=g'（1）=12+m=0，
∴m=-12．
（Ⅲ）g（x）=2x³+3x²-12x，x∈[1，+∞），
由（Ⅱ）知，當x=1時，g'（x）=0，
當x＞1時，g'（x）＞0，∴g（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)．
∴g（x）≥g（1）=2+3-12=-7．

點評：導函數(shù)在極值點處的導數(shù)值為0；函數(shù)在切點處的值為曲線在切點處的斜率這是導數(shù)的幾何意義；二次函數(shù)的最值與對稱軸與區(qū)間的相對位置有關．