已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2在x=-1時取得極值,曲線y=f(x)在x=1處的切線的斜率為12;函數(shù)g(x)=f(x)+mx,x∈[1,+∞),函數(shù)g(x)的導函數(shù)g'(x)的最小值為0.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式;
(Ⅱ)求實數(shù)m的值;
(Ⅲ) 求證:g(x)≥-7.
分析:(I)求出f(x)的導數(shù),令導數(shù)在-1處的值為0,在x=1處的值為12,列出方程組,求出a,b的值.
(II)求出g(x)的導函數(shù),求出導函數(shù)的對稱軸,判斷出g'(x)的單調(diào)性,求出導函數(shù)的最小值,列出方程,求出m
(III)利用導函數(shù)的符號,判斷出g(x)的單調(diào)性,求出g(x)的最小值.
解答:解:(Ⅰ)∵f(x)=ax3+bx2,
∴f'(x)=3ax2+2bx.
由題意有
f′(-1)=3a-2b=0
f′(1)=3a+2b=12

解得
a=2
b=3

∴函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=2x3+3x2
(Ⅱ)g(x)=f(x)+mx=2x3+3x2+mx,x∈[1,+∞),
g′(x)=6x2+6x+m=6(x+
1
2
)2-
3
2
+m
在[1,+∞)單調(diào)遞增
∴[g'(x)]min=g'(1)=12+m=0,
∴m=-12.
(Ⅲ)g(x)=2x3+3x2-12x,x∈[1,+∞),
由(Ⅱ)知,當x=1時,g'(x)=0,
當x>1時,g'(x)>0,∴g(x)在[1,+∞)上是增函數(shù).
∴g(x)≥g(1)=2+3-12=-7.
點評:導函數(shù)在極值點處的導數(shù)值為0;函數(shù)在切點處的值為曲線在切點處的斜率這是導數(shù)的幾何意義;二次函數(shù)的最值與對稱軸與區(qū)間的相對位置有關.
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a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

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1
4
)
時,求f(x)的最大值;
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34
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