Question

（本題滿分10分）設，是否存在整式，使得
對n≥2的一切自然數(shù)都成立?并試用數(shù)學
歸納法證明你的結論.

Answer 1

略

解：假設存在整式，使得對n≥2的一切自然數(shù)都成立,則
當n=2時有,又∵,∴;
當n=3時有,又∵,
∴;……, 猜想：g(n)=n(n≥2),
下面用數(shù)學歸納法加以證明：
(1)當n=2時，已經得到證明.
(2)假設當n=k(k≥2，k∈N)時，結論成立,即
存在g(k)=k，使得對k≥2的一切自然數(shù)都成立成立.則當n=k+1時，
,
又∵∴,
∴,
∴當n=k+1時，命題成立.
由(1)(2)知,對一切n(n≥2,n∈N^*)有=n，使得
都成立.