Question

5．關于x的方程xlnx-kx+1=0在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上有兩個不等實根，則實數k的取值范圍是（　�。�

• A． （1，1+$\frac{1}{e}$]
• B． （1，e-1]
• C． [1+$\frac{1}{e}$，e-1]
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 轉化方程為函數，通過求解函數的最值，轉化求解k的范圍即可．

解答 解：關于x的方程xlnx-kx+1=0，
即：lnx+$\frac{1}{x}$=k，令函數f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，若方程xlnx-kx+1=0在在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上有兩個不等實根，
即函數f（x）=lnx$+\frac{1}{x}$，與y=k在在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]有兩個不相同的交點，
f′（x）=$\frac{1}{x}$$-\frac{1}{{x}^{2}}$，令$\frac{1}{x}$$-\frac{1}{{x}^{2}}$=0可得x=1，
當x∈[$\frac{1}{e}$，1）時f′（x）＜0，函數是減函數，當x∈（1，e）時，f′（x）＞0，函數是增函數，
函數的最小值為：f（1）=1，
f（$\frac{1}{e}$）=-1+e，f（e）=1+$\frac{1}{e}$．函數的最大值為：1+$\frac{1}{e}$．
方程f（x）+m=0在關于x的方程xlnx-kx+1=0在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上有兩個不等實根，
則實數k的取值范圍是（1，1+$\frac{1}{e}$]．
故選：A．

點評 本題考查函數的導數的應用，函數的最值的求法，考查數形結合以及轉化思想的應用．