Question

2．我國是世界上嚴重缺水的國家．某市政府為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數據按照[0，0.5），[0.5，1），…[4，4.5）分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）求直方圖中a的值；
（2）設該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3.5噸的人數，并說明理由；
（3）若在該選取的100人的樣本中，從月均用水量不低于3.5噸的居民中隨機選取3人，求至少選到1名月均用水量不低于4噸的居民的概率．

Answer 1

分析 （1）由頻率統計相關知識，各組頻率之和的值為1，由此能求出a．
（2）由圖求出不低于3.5噸人數所占百分比，由此能估計全市月均用水量不低于3.5噸的人數．
（3）由不低于3.5噸人數所占百分比為6%，得該選取的100人的樣本中，月均用水量不低于3.5噸的居民有6人，其中[3.5，4）之間有4人，[4，4.5）之間有2人，由此能求出從6人中取出3人，至少選到1名月均用水量不低于4噸的居民的概率．

解答 解：（1）由頻率統計相關知識，各組頻率之和的值為1，
∵頻率=$\frac{頻率}{組距}×組距$，
∴0.5×（a+0.16+0.3+0.4+0.52+0.3+0.12+a+0.04）=1
得a=0.08．
（2）由圖，不低于3.5噸人數所占百分比為0.5×（0.08+0.04）=6%，
∴估計全市月均用水量不低于3.5噸的人數為：30×6%=1.8（萬），
（3）由（2）不低于3.5噸人數所占百分比為0.5×（0.08+0.04）=6%，
因此該選取的100人的樣本中，月均用水量不低于3.5噸的居民有100×6%=6人，
其中[3.5，4）之間有4人，[4，4.5）之間有2人，從6人中取出3人，
共有${C}_{6}^{3}$=20種取法，
利用互斥事件分類討論，3人中在[4，4.5）之間有1人，[3.5，4）之間有2人，共有12種取法，
3人中在[4，4.5）之間有2人，[3.5，4）之間有1人，共有4種取法，
所以至少選到1名月均用水量不低于4噸的居民的概率為：
p=$\frac{12}{20}+\frac{4}{20}$=$\frac{4}{5}$．

點評 本題考查頻率分布直方圖的應用，考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意頻率分布直方圖的性質的合理運用．