Question

4．已知函數$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-alnx-\frac{1}{3}（a∈R，a≠0）$．
（1）當a=3時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）求函數y=f（x）的單調區(qū)間與極值．
（3）若對任意的x∈[1，+∞），都有f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把a=3代入原函數解析式中，求出函數在x=1時的導數值，直接利用直線方程的點斜式寫直線方程；
（2）求出函數的導函數，由導函數可知，當a＜0時，f′（x）＞0，函數在定義域（0，+∝）上單調遞增，函數無極值，當a＞0時，求出導函數的零點，由導函數的零點對定義域分段，利用原函數的單調性得到函數的極值．
（3）對任意的x∈[1，+∞），使f（x）≥0恒成立，只需對任意的x∈[1，+∞），f（x）_min≥0．分類討論，求出最小值，即可求a的取值范圍．

解答 解：當a=3時，$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-3lnx-\frac{1}{3}，f（1）=0$
∴${f^/}（x）={x^2}-\frac{3}{x}$，∴f′（1）=-2，切點為（1，0）
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-0=（-2）×（x-1），即 2x+y-2=0．
（2）${f^/}（x）={x^2}-\frac{a}{x}=\frac{{{x^3}-a}}{x}（x＞0）$，
①當a＜0時，${f^/}（x）=\frac{{{x^3}-a}}{x}＞0$恒成立，∴函數y=f（x）的遞增區(qū)間為（0，+∞），無遞減區(qū)間，無極值；
②當a＞0時，令f′（x）=0，解得$x=\root{3}{a}或x=-\root{3}{a}（舍）$x，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	$（0，\root{3}{a}）$	$\root{3}{a}$	$（\root{3}{a}，+∞）$
f′（x）	-	0	+
f（x）		極小值

∴函數y=f（x）的遞增區(qū)間為$（\root{3}{a}，+∞）$，遞減區(qū)間為$（0，\root{3}{a}）$，$f{（x）_{極小值}}=f（\root{3}{a}）=\frac{a-alna-1}{3}$．
綜上：當a＜0時，函數y=f（x）的遞增區(qū)間為（0，+∞），無遞減區(qū)間，無極值；
當a＞0時，函數y=f（x）的遞增區(qū)間為$（\root{3}{a}，+∞）$，遞減區(qū)間為$（0，\root{3}{a}）$，$f{（x）_{極小值}}=f（\root{3}{a}）=\frac{a-alna-1}{3}$．
（3）對任意的x∈[1，+∞），使f（x）≥0恒成立，只需對任意的x∈[1，+∞），f（x）_min≥0．
①當a＜0時，函數y=f（x）在（1，+∞）上是增函數，
∴$f{（x）_{min}}=f（1）=\frac{1}{3}-aln1-\frac{1}{3}=0$，∴a＜0滿足題意；
②當0＜a≤1時，$0＜\root{3}{a}≤1$，函數y=f（x）在（1，+∞）上是增函數，
∴$f{（x）_{min}}=f（1）=\frac{1}{3}-aln1-\frac{1}{3}=0$，∴0＜a≤1滿足題意；
③當a＞1時，$\root{3}{a}＞1$，函數y=f（x）在$（1，\root{3}{a}）$上是減函數，在$（\root{3}{a}，+∞）$上是增函數，
∴$f{（x）_{min}}=f（\root{3}{a}）=\frac{a-alna-1}{3}＜f（1）=0$，∴a＞1不滿足題意．
綜上，a的取值范圍為（-∞，0）∪（0，1]．

點評 本題考查了利用導數研究曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數研究函數的極值，考查恒成立問題，考查了分類討論的數學思想，屬中檔題．