Question

15．已知函數(shù)f（x）=2sinx+tanx-ax．
（1）若曲線y=f（x）與x軸相切于原點(diǎn)，求a的值；
（2）若$x∈[{0\;\;，\;\;\frac{π}{2}}]$時(shí)，f（x）≥0成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f′（0）=0，求出a的值即可；
（2）令t=cosx，則$f'（x）=g（t）=2t+\frac{1}{t^2}-a$，t∈（0，1]，通過(guò)討論a的范圍求出函數(shù)g（t）的單調(diào)性，從而進(jìn)一步確定a的范圍即可．

解答 解：（1）$f'（x）=2cosx+\frac{1}{{{{cos}^2}x}}-a$，由f'（0）=0，解得a=3．
（2）$x∈[{0，\frac{π}{2}}）$，cosx∈（0，1]．
令t=cosx，則$f'（x）=g（t）=2t+\frac{1}{t^2}-a$，t∈（0，1]，$g'（t）=2-\frac{2}{t^2}≤0$，當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)取等號(hào)，
故t∈（0，1]時(shí)，g（t）單調(diào)遞減，g（t）≥g（1）=3-a．
（�。┤鬭≤3，則f′（x）≥0，僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)，f（x）單調(diào)遞增，f（x）≥f（0）=0．
（ⅱ）若a＞3，令h（x）=3tanx-ax，$h'（x）=\frac{3}{{{{cos}^2}x}}-a$，存在 ${x_0}∈[{0，\frac{π}{2}}）$，使得h'（x₀）=0，
且當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，h'（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，h（x）＜h（0）=0，
因?yàn)?nbsp;$x∈[{0，\frac{π}{2}}）$，sinx≤tanx，所以f（x）≤3tanx-ax，
故存在β∈（0，x₀），f（β）＜0，即f（x）≥0不能恒成立，所以a＞3不合題意．
綜上所述，a的取值范圍是（-∞，3]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，換元思想，是一道中檔題．