Question

如圖：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AA₁=AC=BC=2，D為AB中點(diǎn)．
（1）求證：BC₁∥平面A₁CD；
（2）求二面角D-CA₁-A的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）連接AC₁交A₁C于O點(diǎn)，連接DO，則O為AC₁的中點(diǎn)，由D為AB中點(diǎn)，知DO∥BC₁，由此能夠證明BC₁∥平面A₁CD．
（2）以CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能夠求出二面角D-CA₁-A的正切值．

解答： （1）證明：連接AC₁交A₁C于O點(diǎn)，連接DO，則O為AC₁的中點(diǎn)，
∵D為AB中點(diǎn)，∴DO∥BC₁，
又∵DO?平面A₁CD，BC₁?平面A₁CD，
∴BC₁∥平面A₁CD．
（2）解：以CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AA₁=AC=BC=2，D為AB中點(diǎn)．
∴

AB1

=（-2，2，2），
設(shè)二面角D-CA₁-A的大小為θ，則
∵平面ACA₁的法向量是

n

=（0，1，0）
∴cosθ=

(-2，2，2)•(0，1，0)

2 3 •1

=

3

3

，∴tanθ=

2

，
∴二面角D-CA₁-A的正切值是

2

．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角D-CA₁-A的正切值，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．