Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=

4cosθ

sin2θ

，直線l的參數(shù)方程為

x=tcosα y=1+tsinα

（t為參數(shù)，0≤a＜π）．
（1）把曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并說明曲線C的形狀；
（2）若直線l經(jīng)過點(diǎn)（1，0），求直線l被曲線C截得的線段AB的長．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：計(jì)算題,坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）運(yùn)用x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，求出頂點(diǎn)和焦點(diǎn)；
（2）化直線的參數(shù)方程為普通方程，再由條件，即可得到斜率，再聯(lián)立拋物線方程，消去y，得到x的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，即可得到所求值．

解答： 解：（1）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=

4cosθ

sin2θ

，即為（ρsinθ）²=4ρcosθ，
化為直角坐標(biāo)方程為：y²=4x，表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為（1，0）的拋物線；
（2）直線l的參數(shù)方程為

x=tcosα y=1+tsinα

（t為參數(shù)，0≤a＜π）．
化為普通方程為：y=tanα•x+1，（0≤α＜π），
由于直線l經(jīng)過點(diǎn)（1，0），則tanα=-1．
即直線l：y=1-x，代入拋物線方程：y²=4x，消去y，得x²-6x+1=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=6，x₁x₂=1，
則|AB|=

1+(-1)2

|x₁-x₂|=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

62-4

=8．

點(diǎn)評：本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和普通方程的互化，考查直線與拋物線方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長的方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．