Question

12．直角△ABC中，C=$\frac{π}{2}$，AC=2．若D為AC中點，且sin∠ABD=$\frac{1}{3}$，則BC=$\sqrt{2}$；若D為AC上靠近點C的三等分點，則∠ABD的最大值為$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 （1）由題意畫出圖象設BC=x，由條件和勾股定理求出BD、AB，由直角三角形的正弦函數(shù)求出sin∠BAC，在△ABD中由正弦定理列出方程求出x的值；
（2）設BC=x，由條件和勾股定理求出BD、AB，由直角三角形的正弦函數(shù)求出sin∠BAC，在△ABD中由正弦定理列出方程化簡后，表示出sin∠ABD，化簡后利用基本定理求出sin∠ABD的范圍，由∠ABD的范圍和正弦函數(shù)的性質求出∠ABD的最大值．

解答 解：（1）如圖所示：設BC=x，
∵C=$\frac{π}{2}$，AC=2，D為AC中點，∴DC=AD=1，
且AB=$\sqrt{{x}^{2}+4}$，BD=$\sqrt{{x}^{2}+1}$，
∴sin∠BAC=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$，
∵sin∠ABD=$\frac{1}{3}$，∴在△ABD中，由正弦定理得$\frac{BD}{sin∠BAC}=\frac{AD}{sin∠DBA}$，
則$\frac{\sqrt{{x}^{2}+1}}{\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+4}}}=\frac{1}{\frac{1}{3}}$，即3$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$=$\sqrt{{x}^{2}+1}$，
化簡得x⁴-4x²+4=0，解得x²=2，即x=$\sqrt{2}$，
∴BD=$\sqrt{2}$；
（2）設BC=x，
∵C=$\frac{π}{2}$，AC=2，D為AC上靠近點C的三等分點，∴DC=$\frac{2}{3}$、AD=$\frac{4}{3}$，
且AB=$\sqrt{{x}^{2}+4}$，BD=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{4}{9}}$，
∴sin∠BAC=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$，
在△ABD中，由正弦定理得$\frac{BD}{sin∠BAC}=\frac{AD}{sin∠DBA}$，則$\frac{\sqrt{{x}^{2}+\frac{4}{9}}}{\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+4}}}=\frac{\frac{4}{3}}{sin∠ABD}$，
即sin∠ABD=$\frac{4}{3}•\frac{\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+4}}}{\sqrt{{x}^{2}+\frac{4}{9}}}$=$\frac{4}{3}•\frac{x}{\sqrt{{（x}^{2}+4）（{x}^{2}+\frac{4}{9}）}}$=$\frac{4}{3}•\frac{x}{\sqrt{{x}^{4}+\frac{40}{9}{x}^{2}+\frac{16}{9}}}$
=$\frac{4}{3}•\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+\frac{16}{9{x}^{2}}+\frac{40}{9}}}$$≤\frac{4}{3}•\frac{1}{\sqrt{2×\frac{4}{3}+\frac{40}{9}}}$=$\frac{4}{3}×\frac{1}{\frac{8}{3}}$=$\frac{1}{2}$，
當且僅當${x}^{2}=\frac{16}{9{x}^{2}}$時取等號，
∴$sin∠ABD≤\frac{1}{2}$，
∵∠ABD是銳角，∴∠ABD的最大值是$\frac{π}{6}$，
故答案為：$\sqrt{2}；\frac{π}{6}$．

點評 本題考查正弦定理、勾股定理，求角轉化為求角的某個三角函數(shù)值，以及基本不等式求最值問題等，考查化簡、變形能力．