Question

9．已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足條件f（x+4）=-f（x），且函數(shù)y=f（x+2）是偶函數(shù)，當(dāng)x∈（0，2]時(shí)，$f（x）=lnx-ax（{a＞\frac{1}{2}}）$，當(dāng)x∈[-2，0）時(shí)，f（x）的最小值為3，則a的值等于（　�。�

• A． e²
• B． e
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）的對(duì)稱性得出f（x）在[-2，0）上的解析式，判斷f（x）在[-2，0）上的單調(diào)性，根據(jù)最小值列方程解出a．

解答 解：∵f（x+2）是偶函數(shù)，∴f（x+2）=f（-x+2），
∴f（x）關(guān)于直線x=2對(duì)稱，
∴當(dāng)2≤x＜4時(shí)，f（x）=f（4-x）=ln（4-x）-a（4-x）．
∵f（x+4）=-f（x），
∴當(dāng)-2≤x＜0時(shí)，f（x）=-f（x+4）=-ln[4-（x+4）]+a[4-（x+4）]=-ln（-x）-ax，
∴f′（x）=-$\frac{1}{x}$-a，
令f′（x）=0得x=-$\frac{1}{a}$，
∵a$＞\frac{1}{2}$，∴-$\frac{1}{a}$∈（-2，0），
∴當(dāng)-2≤x＜-$\frac{1}{a}$時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)-$\frac{1}{a}$＜x＜0時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）在[-2，-$\frac{1}{a}$）上單調(diào)遞減，在（-$\frac{1}{a}$，0）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=-$\frac{1}{a}$時(shí)，f（x）取得最小值f（-$\frac{1}{a}$）=-ln$\frac{1}{a}$+1，
∵f（x）在[-2，0）上有最小值3，
∴-ln（$\frac{1}{a}$）+1=3，解得a=e²．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的對(duì)稱性應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性判斷與最值計(jì)算，屬于中檔題．