Question

17．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂是橢圓E的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，∠F₁PF₂=$\frac{π}{2}$且△F₁PF₂的面積為3．
（Ⅰ）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）動(dòng)點(diǎn)M在橢圓E上，動(dòng)點(diǎn)N在直線l：y=2$\sqrt{3}$上，若OM⊥ON，求證：原點(diǎn)O到直線MN的距離是定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用橢圓的離心率a=2c，利用勾股定理，三角形的面積公式及橢圓的定義，即可求得a和c的值，則b²=a²-c²，即可求得橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）當(dāng)直線ON斜率不存在時(shí)，由d=$\frac{丨OM丨丨ON丨}{丨MN丨}$=$\sqrt{3}$，當(dāng)直線OM斜率存在時(shí)，將直線OM的方程代入橢圓方程，求得M點(diǎn)坐標(biāo)，則直線ON的斜率-$\frac{1}{k}$，將y=2$\sqrt{3}$，求得N點(diǎn)坐標(biāo)，則d²=$\frac{丨OM{丨}^{2}•丨ON{丨}^{2}}{丨MN{丨}^{2}}$=3，原點(diǎn)O到直線MN的距離是定值．

解答 解：（Ⅰ）橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a=2c，①
△F₁PF₂的面積為3，則$\frac{1}{2}$丨PF₁丨丨PF₂丨=3，則丨PF₁丨丨PF₂丨=6，
由丨PF₁丨+丨PF₂丨=2a，丨PF₁丨²+丨PF₂丨²=（2c）²．
則a²-c²=3，②
解得：a=2，c=1，
b²=a²-c²=3，
∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）證明：①當(dāng)直線ON斜率不存在時(shí)，即點(diǎn)N在y軸上時(shí)，丨ON丨=2$\sqrt{3}$，
丨OM丨=2，丨MN丨=4，
設(shè)原點(diǎn)O到直線MN的距離為d，由比例關(guān)系可得d=$\frac{丨OM丨丨ON丨}{丨MN丨}$=$\sqrt{3}$，
②當(dāng)直線OM斜率存在時(shí)，設(shè)直線OM方程為：y=kx，
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，解得：x²=$\frac{12}{3+4{k}^{2}}$，y²=$\frac{12{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，
由OM⊥ON，則直線ON方程為：y=-$\frac{1}{k}$x，代入y=2$\sqrt{3}$，可得x=-2$\sqrt{3}$k，則N（-2$\sqrt{3}$k，2$\sqrt{3}$），
則丨MN丨²=丨ON丨²+丨OM丨²=（-2$\sqrt{3}$k）²+（2$\sqrt{3}$）²+$\frac{12}{3+4{k}^{2}}$+$\frac{12{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{48（1+{k}^{2}）^{2}}{3+4{k}^{2}}$，
則由比例關(guān)系可得d=$\frac{丨OM丨丨ON丨}{丨MN丨}$，
d²=$\frac{\frac{12（k+1）^{2}}{3+4{k}^{2}}•12（k+1）^{2}}{\frac{48（1+{k}^{2}）^{2}}{3+4{k}^{2}}}$=3，
∴d=$\sqrt{3}$，
綜上所述，原點(diǎn)O到直線MN的距離為定值$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，直線的斜率公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．