Question

2．為了研究一種昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x是否有關(guān)，現(xiàn)收集了7組觀測數(shù)據(jù)列于下表中，并作出了散點圖，發(fā)現(xiàn)樣本點并沒有分布在某個帶狀區(qū)域內(nèi)，兩個變量并不呈線性相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)分別用模型①：y=C₁x²+C₂與模型②：y=e${\;}^{{C}_{3}x+{C}_{4}}$作為產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x的回歸方程來建立兩個變量之間的關(guān)系．

溫度x/℃	20	22	24	26	28	30	32
產(chǎn)卵數(shù)y/個	6	10	21	24	64	113	322
t=x2	400	484	576	676	784	900	1024
Z=lny	1.79	2.30	3.04	3.18	4.16	4.73	5.77

$\overline{x}$	$\overline{t}$	$\overline{y}$	$\overline{z}$
26	692	80	3.57
$\frac{\sum_{i=1}^{7}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y）}}{\sum_{i=1}^{7}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$	$\frac{\sum_{i=1}^{7}（{t}_{i}-\overline{t}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{7}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}}$	$\frac{\sum_{i=1}^{7}（{z}_{i}-\overline{z}）（{x}_{i}-\overline{x}）}{\sum_{i=1}^{7}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$	$\frac{\sum_{i=1}^{7}（{z}_{i}-\overline{z}）（{t}_{i}-\overline{t}）}{\sum_{i=1}^{7}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}}$
1157.54	0.43	0.32	0.00012

其中t_i=x_i²，$\overline{t}$=$\sum_{i=1}^{7}{t}_{i}$，z_i=lny_i，$\overline{u}$=$\sum_{i=1}^{7}{z}_{i}$，
附：對于一組數(shù)據(jù)（u₁，v₁），（u₂，v₂），…，（u_n，v_n），其回歸直線v=βu+α的斜率和截距的最小二乘估計分別為：β=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{u}_{i}-\overline{u}）（{v}_{i}-\overline{v}）}{\sum_{i=1}^{n}（{u}_{i}-\overline{u}）^{2}}$，α=$\overline{v}$-β$\overline{u}$．
（1）分別畫出y關(guān)于t的散點圖、z關(guān)于x的散點圖，根據(jù)散點圖判斷哪一個模型更適宜作為回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）．
（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，分別建立兩個模型下建立y關(guān)于x的回歸方程；并在兩個模型下分別估計溫度為30℃時的產(chǎn)卵數(shù)．（C₁，C₂，C₃，C₄與估計值均精確到小數(shù)點后兩位）（參考數(shù)據(jù)：e^4.65≈104.58，e^4.85≈127.74，e^5.05≈156.02）
（3）若模型①、②的相關(guān)指數(shù)計算分別為R₁²=0.82，R₂²=0.96，請根據(jù)相關(guān)指數(shù)判斷哪個模型的擬合效果更好．

Answer 1

分析 （1）畫出y關(guān)于t的散點圖和z關(guān)于x的散點圖，結(jié)合圖形判斷模型②更適宜作為回歸方程類型；
（2）計算模型①的回歸系數(shù)，寫出回歸方程，求出x=30時$\stackrel{∧}{y}$的值；
計算模型②的回歸系數(shù)，寫出回歸方程，求出x=30時$\stackrel{∧}{y}$的值即可；
（3）根據(jù)${{R}_{1}}^{2}$＜${{R}_{2}}^{2}$判斷模型②的擬合效果更好．

解答 解：（1）畫出y關(guān)于t的散點圖如圖1，
畫出z關(guān)于x的散點圖如圖2；
根據(jù)散點圖可以判斷模型②更適宜作為回歸方程類型；
（2）對于模型①，設t=x²，則y=C₁x²+C₂=C₁t+C₂，
計算C₁=$\frac{\sum_{i=1}^{7}{（t}_{i}-\overline{t}）{（y}_{i}-\overline{y}）}{{\sum_{i=1}^{7}{（t}_{i}-\overline{t}）}^{2}}$=0.43，
C₂=$\overline{y}$-C₁$\overline{t}$=80-0.43×692=-217.56，
∴所求回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=0.43x²-217.56，
當x=30時，估計溫度為$\stackrel{∧}{y}$=0.43×30²-217.56=169.44；
對于模型②，設y=${e}^{{C}_{1}x{+C}_{2}}$，
則z=lny=C₃x+C₄，
計算C₃=$\frac{\sum_{i=1}^{7}{（z}_{i}-\overline{z}）{（x}_{i}-\overline{x}）}{{\sum_{i=1}^{7}{（x}_{i}-\overline{x}）}^{2}}$=0.32，
C₄=$\overline{z}$-C₃$\overline{x}$=3.57-0.32×26=-4.75，
∴所求回歸方程為$\stackrel{∧}{z}$=0.32x-4.75，
即$\stackrel{∧}{y}$=e^0.32x-4.75；
當x=30時，估計溫度為$\stackrel{∧}{y}$=e^{0.32×30-4.75}≈127.74；
（3）∵R₁²=0.82，R₂²=0.96，
∴${{R}_{1}}^{2}$＜${{R}_{2}}^{2}$，
∴模型②的擬合效果更好．

點評 本題考查了散點圖以及回歸方程和相關(guān)指數(shù)的應用問題，也考查了分析與判斷能力的應用問題，是綜合性題目．