Question

13．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各棱長均相等，D，E，F(xiàn)分別為棱AB，BC，A₁C₁的中點．
（Ⅰ）證明EF∥平面A₁CD；
（Ⅱ）若三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直棱柱，求直線BC與平面A₁CD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）連接DE，通過證明四邊形A₁DEF是平行四邊形得出EF∥A₁D，從而EF∥平面A₁CD；
（II）過B作BM⊥A₁D交延長線于M，連接CM，則可證BM⊥平面A₁CD，即∠BCM為所求線面角，設三棱柱棱長為1，利用三角形相似求出BM即可得出sin∠BCM=$\frac{BM}{BC}$．

解答 證明：（I）連接DE，
∵D，E分別是AB，BC的中點，
∴DE$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AC，
∵F是A₁C₁的中點，∴A₁F=$\frac{1}{2}$A₁C₁，
又AC$\stackrel{∥}{=}$A₁C₁，
∴A₁F$\stackrel{∥}{=}$DE，
∴四邊形A₁DEF是平行四邊形，
∴EF∥A₁D，又EF?平面A₁CD，A₁D?平面A₁CD，
∴EF∥平面A₁CD．
（II）過B作BM⊥A₁D交延長線于M，連接CM，
∵ABC是等邊三角形，∴CD⊥AB，
又A₁A⊥平面ABC，CD?平面ABC，
∴A₁A⊥CD，
∴CD⊥平面ABCD，又BM?平面ABCD，
∴CD⊥BM，又CD?平面A₁CD，A₁D?平面A₁CD，CD∩A₁D=D，
∴BM⊥平面A₁CD，
∴∠BCM為直線BC與平面A₁CD所成的角，
設直三棱柱棱長為1，則BM=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴sin∠BCM=$\frac{BM}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查了線面平行的判定，線面角的計算，屬于中檔題．