Question

7．對(duì)函數(shù)f（x），如果存在x₀≠0使得f（x₀）=-f（-x₀），則稱(chēng)（x₀，f（x₀））與（-x₀，f（-x₀））為函數(shù)圖象的一組奇對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．若f（x）=e^x-a（e為自然數(shù)的底數(shù)）存在奇對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，1）
• B． （1，+∞）
• C． （e，+∞）
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 由方程f（x）=-f（-x）有非零解可得e^2x-2ae^x+1=0有非零解，令e^x=t，則關(guān)于t的方程t²-2at+1=0有不等于1的正數(shù)解，利用二次函數(shù)的性質(zhì)列出不等式組解出a的范圍．

解答 解：∵f（x）=e^x-a存在奇對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，
∴f（x）=-f（-x）有非零解，
即e^x-a=a-e^-x有非零解，∴e^2x-2ae^x+1=0有非零解．
設(shè)e^x=t，則關(guān)于t的方程t²-2at+1=0在（0，1）∪（1，+∞）上有解；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{4{a}^{2}-4≥0}\end{array}\right.$，解得a≥1．
若t=1為方程t²-2at+1=0的解，則2-2a=0，即a=1，此時(shí)方程只有一解t=1，不符合題意；
∴a≠1．
綜上，a＞1．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)零點(diǎn)存在性的判斷，二次函數(shù)的性質(zhì)，換元轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．