Question

20．若函數f（x）=[x³+3x²+（a+6）x+6-a]e^-x在區(qū)間（2，4）上存在極大值點，則實數a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-32）
• B． （-∞，-27）
• C． （-32，-27）
• D． （-32，-27]

Answer 1

分析 f′（x）=[-x³-（9a+48）x+10a+48]e^-x，令h（x）=$\frac{{x}^{3}}{x-2}$+a，h′（x）=$\frac{{x}^{2}（2x-6）}{（x-2）^{2}}$，在（2，3）上單調遞減，（3，4）上單調遞增，則h′（4）=32+a＞0，h′（3）=27+a＜0，即可求出實數a的取值范圍．

解答 解：f′（x）=-（x-2）（$\frac{{x}^{3}}{x-2}$+a）e^-x
令h（x）=$\frac{{x}^{3}}{x-2}$+a，h′（x）=$\frac{{x}^{2}（2x-6）}{（x-2）^{2}}$，在（2，3）上單調遞減，（3，4）上單調遞增，
函數f（x）=[x³+3x²+（a+6）x+6-a]e^-x在區(qū)間（2，4）上存在極大值點，則h′（4）=32+a＞0，h′（3）=27+a＜0，
∴-32＜a＜-27
∴實數a的取值范圍為（-32，-27）．
故選C．

點評 本題考查導數知識的運用，考查函數的極值，考查學生的計算能力，屬于中檔題．