Question

5．設(shè)滿足一下兩個(gè)條件的有窮數(shù)列a₁，a₂，…，a_n為n（n=2，3，4，…，）階“夢(mèng)想數(shù)列”：
①a₁+a₂+a₃+…+a_n=0；
②|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=1．
（Ⅰ）分別寫出一個(gè)單調(diào)遞增的3階和4階“期待數(shù)列”；
（Ⅱ）若某21階“夢(mèng)想數(shù)列”是遞增等差數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）記n階“期待數(shù)列”的前k項(xiàng)和為S_k（k=1，2，3，…，n），試證：|S_k|≤$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）結(jié)合已知新定義即可寫出符合條件的數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)該21階“期待數(shù)列”的公差為d，由題意可得，a₁+a₂+a₃+…+a₂₁=0，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可求a₁+a₂₁=0，從而可求得a₁₁=0，進(jìn)而可得a₁₂=d，可求通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）當(dāng)k=n時(shí)，顯然：|S_n|=0$≤\frac{1}{2}$成立； 當(dāng)k＜n時(shí)，根據(jù)條件①得S_k=a₁+a₂+…+a_k=-（a_k+1+a_k+2+…+a_n），從而可求|S_k|，再利用不等式的性質(zhì)即可證明．

解答 解：（Ⅰ）數(shù)列-$\frac{1}{2}$，0，$\frac{1}{2}$為三階期待數(shù)列…（1分）
數(shù)列-$\frac{3}{8}$，-$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{8}$，$\frac{3}{8}$為四階期待數(shù)列，…（3分）
（Ⅱ）設(shè)該21階“期待數(shù)列”的公差為d，
因?yàn)閍₁+a₂+a₃+…+a₂₁=0，
∴a₁+a₂₁=0，
即a₁₁=0，
∴a₁₂=d，…（5分）
當(dāng)d＞0時(shí)，據(jù)期待數(shù)列的條件①②可得a₁₂+a₁₃+…+a₂₁=$\frac{1}{2}$
∴10d+45d=$\frac{1}{2}$，∴d=$\frac{1}{110}$（6分）
∴該數(shù)列的通項(xiàng)公式為a_n=a₁₁+（n-11）d=$\frac{n-11}{110}$（n∈N^*且n≤2013）．…（8分）
（Ⅲ）當(dāng)k=n時(shí)，顯然：|S_n|=0$≤\frac{1}{2}$成立； …（9分）
當(dāng)k＜n時(shí)，根據(jù)條件①得S_k=a₁+a₂+…+a_k=-（a_k+1+a_k+2+…+a_n），…（10分）
即|S_k|=|a₁+a₂+…+a_k|=|a_k+1+a_k+2+…+a_n|，…（11分）
∴2|S_k|=|a₁+a₂+…+a_k|+|a_k+1+a_k+2+…+a_n|=1
∴|S_k|≤$\frac{1}{2}$（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題以新定義為載體主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)及求和公式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是具備一定的邏輯推理的運(yùn)算的能力