Question

5．已知△ABC的外接圓半徑為8，且sinA：sinB：sinC=2：3：4，則△ABC的面積為$\frac{45\sqrt{15}}{4}$．

Answer 1

分析 sinA：sinB：sinC=2：3：4，利用正弦定理可得a：b：c=2：3：4，利用余弦定理可得cosA，sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$．再利用正弦定理可得$\frac{a}{sinA}$=2×8，解得a，即可得出三角形面積．

解答 解：∵sinA：sinB：sinC=2：3：4，∴a：b：c=2：3：4，
cosA=$\frac{{3}^{2}+{4}^{2}-{2}^{2}}{2×3×4}$=$\frac{7}{8}$，sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{15}}{8}$．
∴$\frac{a}{sinA}$=2×8，解得a=16×$\frac{\sqrt{15}}{8}$=2$\sqrt{15}$．
∴b=3$\sqrt{15}$，c=4$\sqrt{15}$．
∴S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×$3$\sqrt{15}$×4$\sqrt{15}$×$\frac{\sqrt{15}}{8}$=$\frac{45\sqrt{15}}{4}$．
故答案為：$\frac{45\sqrt{15}}{4}$．

點評 本題考查了三角形面積計算公式、正弦定理余弦定理、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．