Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{2-x}{x+b}$，f（x）的圖象與其反函數(shù)的圖象重合．
（1）求f（x）的解析式；
（2）關(guān)于x的方程a^x=f（x）（a＞1）是否存在負(fù)實(shí)數(shù)解？寫出你的判斷并給出相應(yīng)證明．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f（x）的反函數(shù)f^-1（x），根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象與它的反函數(shù)的圖象重合求出b的值即可；
（2）關(guān)于x的方程a^x=f（x）（a＞1）是否存在負(fù)實(shí)數(shù)解，轉(zhuǎn)化為
函數(shù)y=a^x（a＞1）與函數(shù)y=f（x）=$\frac{2-x}{x+1}$=$\frac{3}{x+1}$-1在x＜0時是否有交點(diǎn)，
在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)y=a^x（a＞1）與函數(shù)y=f（x）的圖象，結(jié)合圖象即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\frac{2-x}{x+b}$，
由y=$\frac{2-x}{x+b}$，解得x=$\frac{2-by}{1+y}$（y≠-1），
把x與y互換可得：y=f^-1（x）=$\frac{2-bx}{x+1}$（x≠-1），
∵函數(shù)f（x）的圖象與它的反函數(shù)的圖象重合，
∴b=1，∴f（x）=$\frac{2-x}{x+1}$；
（2）關(guān)于x的方程a^x=f（x）（a＞1）是否存在負(fù)實(shí)數(shù)解，
轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=a^x（a＞1）與函數(shù)y=f（x）=$\frac{2-x}{x+1}$=$\frac{3}{x+1}$-1在x＜0時是否有交點(diǎn)，
在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)y=a^x（a＞1）與函數(shù)y=f（x）的圖象如圖所示，
則

x=0時，f（0）=2，y=a⁰=1，
則函數(shù)y=a^x與y=f（x）在x＜0時無交點(diǎn)，
∴關(guān)于x的方程a^x=f（x）（a＞1）不存在負(fù)實(shí)數(shù)解．

點(diǎn)評 本題考查了互為反函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問題，考查了數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化能力，是綜合性題目．