Question

10．已知a，b，c分別為△ABC中角A，B，C的對邊，函數(shù)$f（x）=3+2\sqrt{3}sinxcosx+2{cos^2}x$且f（A）=5．
（1）求角A的大��；
（2）若a=2，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換求得f（A）的解析式，由f（A）=5求得 sin（2A+$\frac{π}{6}$） 的值，從而求得2A+$\frac{π}{6}$的值，可得A的值．
（2）利用余弦定理，基本不等式，求得bc的最大值，可得△ABC面積$\frac{1}{2}$bc•sinA的最大值．

解答 解：（1）由題意可得：$f（A）=3+2\sqrt{3}sinAcosA+2{cos^2}A=5$
=3+$\sqrt{3}$sin2A+cos2A+1=4+2sin（2A+$\frac{π}{6}$），
∴sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，∵A∈（0，π），
∴2A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{13π}{6}$），∴2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）由余弦定理可得：$4={b^2}+{c^2}-2bccos\frac{π}{3}$，
即4=b²+c²-bc≥bc（當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時“=”成立），即bc≤4，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{\sqrt{3}}}{4}bc≤\frac{{\sqrt{3}}}{4}×4=\sqrt{3}$，
故△ABC面積的最大值是$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查三角恒等變換，余弦定理，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．