Question

2．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，C=2A，cosA=$\frac{3}{4}$，$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{27}{2}$，則b=5．

Answer 1

分析 由C=2A，得到cosC=cos2A，cos2A利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，將cosA的值代入求出cosC的值，發(fā)現(xiàn)cosC的值大于0，由A和B為三角形的內(nèi)角，得到A和B都為銳角，進(jìn)而利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinA和sinC的值，最后利用三角形的內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)cosB，再利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，將各自的值代入即可求出cosB的值；利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則化簡(jiǎn)已知的等式$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{27}{2}$，由cosB的值，求出ac的值，由a，c，sinA和sinC，利用正弦定理列出關(guān)系式，將C=2A代入并利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，用c表示出a，代入ac=24中，求出c的值，進(jìn)而得到a的值，最后由a，c及cosB的值，利用余弦定理即可求出b的值．

解答 解：∵C=2A，cosA=$\frac{3}{4}$＞0，
∴cosC=cos2A=2cos²A-1=2×（$\frac{3}{4}$）²-1=$\frac{1}{8}$＞0，
∵0＜A＜π，0＜C＜π，
∴0＜A＜$\frac{π}{2}$，0＜C＜$\frac{π}{2}$，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{3\sqrt{7}}{8}$，
∴cosB=cos[π-（A+C）]=-cos（A+C）=-（cosAcosC-sinAsinC）=$\frac{9}{16}$；
∵$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{27}{2}$，
∴accosB=$\frac{27}{2}$，
∴ac=24，
∵$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{c}{sin2A}$=$\frac{c}{2sinAcosA}$，
∴a=$\frac{c}{2cosA}$=$\frac{2}{3}$c，
由$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{3}c}\\{ac=24}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{c=6}\end{array}\right.$，
∴b²=a²+c²-2accosB=4²+6²-2×24×$\frac{9}{16}$=25，
∴b=5．
故答案為：5．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，誘導(dǎo)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．