Question

7．已知函數(shù)g（x）=|x|+2|x+2-a|（a∈R）．
（1）當a=3時，解不等式g（x）≤4；
（2）令f（x）=g（x-2），若f（x）≥1在R上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得g（x）=|x|+2|x-1|≤4，討論當x≥1時，當0≤x＜1時，當x＜0時，去掉絕對值，解不等式即可得到所求解集；
（2）求得f（x）=g（x-2）=|x-2|+2|x-a|（a∈R），討論a=2，a＞2，a＜2，運用分段函數(shù)求出f（x），所以f（x）的最小值為f（2）或f（a），由恒成立思想可得a的不等式，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）依題意得g（x）=|x|+2|x-1|≤4
當x≥1時，原不等式化為：x+2（x-1）≤4，解得1≤x≤2；
當0≤x＜1時，原不等式化為：x+2（1-x）≤4，解得0≤x＜1
當x＜0時，原不等式化為：-x+2（1-x）≤4，
解得-$\frac{2}{3}$≤x＜0．
綜上可得，不等式的解集為{x|-$\frac{2}{3}$≤x≤2}；  …（4分）
（2）f（x）=g（x-2）=|x-2|+2|x-a|（a∈R）
a＞2時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-3x+2+2a，x≤2}\\{-x+2a-2，2＜x＜a}\\{3x-2-2a，x≥a}\end{array}\right.$；
a=2時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-3x+6，x≤2}\\{3x-6，x＞2}\end{array}\right.$；
a＜2時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-3x+2+2a，x≤a}\\{x-2a+2，a＜x＜2}\\{3x-2-2a，x≥2}\end{array}\right.$；
所以f（x）的最小值為f（2）或f（a）；
則$\left\{\begin{array}{l}{f（a）≥1}\\{f（2）≥1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{|a-2|≥1}\\{2|a-2|≥1}\end{array}\right.$所以|a-2|≥1，
解得a≤1或a≥3．…（10分）

點評 本題考查絕對值不等式的解法，注意運用零點分區(qū)間方法去絕對值，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用分類討論思想方法，以及轉(zhuǎn)化為求最小值，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．