Question

【題目】已知函數(shù)的圖象在處的切線方程是.

（1）求的值；

（2）若函數(shù)，討論的單調(diào)性與極值；

（3）證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，的極小值為，無極大值；（3）見解析.

【解析】

（1）切點(diǎn)既在切線上又在曲線上得一方程，再根據(jù)斜率等于該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)再列一方程，解方程組即可；

（2）先對(duì)求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷和求解即可.

（3）把證明轉(zhuǎn)化為證明，然后證明極小值大于極大值即可.

解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>

由已知得，則，解得.

（2）由題意得，則.

當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，

所以，單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，

的極小值為，無極大值.

（3）要證成立，

只需證成立.

令，則，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，

所以的極大值為，即

由（2）知，時(shí)，，且的最小值點(diǎn)與的最大值點(diǎn)不同，所以，即.

所以，.