Question

20．已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數，且f（1）=1，若m、n∈[-1，1]，m+n≠0時$\frac{f（m）+f（n）}{m+n}$＞0．
（1）用定義證明f（x）在[-1，1]上是增函數；
（2）若f（x）≤t²-2at+1對所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據函數單調性的定義證明即可；
（2）問題轉化為x∈[-1，1]，a∈[-1，1]，t²-2at+1≥1恒成立，根據函數的單調性求出t的范圍即可．

解答 （1）證明：任取x₁＜x₂，且x₁，x₂∈[-1，1]，
則f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=$\frac{{f（{x_1}）+f（-{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$•（x₁-x₂），
∵-1≤x₁＜x₂≤1，∴x₁+（-x₂）≠0，
由已知$\frac{{f（{x_1}）+f（-{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞0，又 x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x）在[-1，1]上為增函數；
（2）由（1）可知f（x）在[-1，1]上為增函數，且f（1）=1，
故對x∈[-1，1]，恒有f（x）≤1，
所以要使f（x）≤t²-2at+1對所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
即要t²-2at+1≥1成立，
故t²-2at≥0，記g（a）=t²-2at，對a∈[-1，1]，有g（a）≥0，
只需g（a）在[-1，1]上的最小值大于等于0，g（-1）≥0，g（1）≥0，
解得，t≤-2或t=0或t≥2，
∴t的取值范圍是：{t|t≤-2或t=0或t≥2}．

點評 本題考查了函數的單調性、函數恒成立問題，考查導數的應用，是一道中檔題．