Question

【題目】已知函數(shù)

(1)求函數(shù)的最大值；

(2)令既有極大值，又有極小值，求實數(shù)a的范圍；

(3)求證：當以．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）；（3）見解析.

【解析】試題分析：

(1)由題意結合導函數(shù)的符號確定函數(shù)的單調性，據此可得函數(shù)的最大值為；

(2)原問題等價于一元二次方程在區(qū)間內有兩個不相等的實數(shù)根，據此列出不等式組求解可得實數(shù)a的范圍是；

(3)由題意結合(1)的結論指數(shù)裂項放縮即可證得題中的不等式.

試題解析：

(1) 函數(shù)定義域為，

∴當時,;當時,;

∴函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù);在區(qū)間為減函數(shù)

所以

(2)，

既有極大值，又有極小值等價于方程在區(qū)間上有兩個不相等的正根

即：解得.

所以所求實數(shù)a的取值范圍是.

(3) 由（1）知當時，

所以。