Question

9．某城市理論預測2007年到2011年人口總數(shù)與年份的關系如表所示

年份2007+x（年）	0	1	2	3	4
人口數(shù)y（十萬）	5	7	8	11	19

（1）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求最小二乘法求出Y關于x的線性回歸方程；
（2）據(jù)此估計2016年該城市人口總數(shù)．

Answer 1

分析 （1）先求出年份2007+x和人口數(shù)y的平均值，即得到樣本中心點，利用最小二乘法得到線性回歸方程的系數(shù)，根據(jù)樣本中心點在線性回歸直線上，得到a的值，得到線性回歸方程；
（2）當x=9代入回歸直線方程，即可估計2016年該城市人口總數(shù)．

解答 解：（1）∵$\overline x=2，\overline y=10$，…（2分）
$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}$=0×5+1×7+2×8+3×11+4×19=132，$\sum_{i=1}^5{{x_i}^2}$=0²+1²+2²+3²+4²=30…（4分）
∴$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}=3.2，\hat a=\overline y-\hat b\overline x=3.6$…（6分）
故y關于x的線性回歸方程為$\hat y$=3.2x+3.6 …（8分）
（2）當x=9時，$\hat y$=3.2×9+3.6即$\hat y$=32.4        …（10分）
據(jù)此估計2012年該城市人口總數(shù)約為324萬．…（12分）

點評 本題考查采用最小二乘法，求線性回歸方程及線性回歸方程的簡單應用，考查計算能力，屬于基礎題．