Question

4．已知函數(shù)f（x）=x²-3x-2lnx．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）+alnx，求g（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出g（x）的單調(diào)性，從而求出其最大值即可．

解答 解：（1）f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{（2x+1）（x-2）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
∴f（x）在（0，2）遞減，在（2，+∞）遞增；
（2）g（x）=f（x）+alnx=x²-3x+（a-2）lnx，
g′（x）=2x-3+$\frac{a-2}{x}$=$\frac{{2x}^{2}-3x+（a-2）}{x}$，
令h（x）=2x²-3x+（a-2），對(duì)稱軸x=$\frac{3}{4}$，
h（x）在[1，2]遞增，h（x）_min=h（1）=a-3，h（x）_max=h（2）=a，
①a≥3時(shí)，h（x）≥0，即g′（x）≥0，g（x）在[1，2]遞增，
∴g（x）_max=g（2）=（a-2）ln2-2，
②0＜a＜3時(shí)，?x₀∈（1，2），
使得在[1，x₀）h（x）＜0，即g′（x）＜0，g（x）遞減，
在（x₀，2]，h（x）＞0，即g′（x）＞0，g（x）遞增，
∴g（x）的最大值是g（1）或g（2），
③a≤0時(shí)，h（x）≤0，即g′（x）≤0，g（x）遞減，
g（x）_max=g（1）=（a-2）ln2-2，
綜上，g（x）_max=（a-2）ln2-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．