Question

已知平面直角坐標系xOy中的一個橢圓，它的中心在原點，橢圓上一動點到焦點的最長距離是2+

3

，最短距離是2-

3

（1）求該橢圓的標準方程；
（2）若橢圓的焦點在y軸上，直線l：y=2x+m截橢圓所得的弦的中點為M，求M的軌跡方程．

Answer 1

考點：軌跡方程,橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）直接由題意得到關于a，c的方程組，求出a，c后結合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）設直線l交橢圓于P、Q兩點，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ中點M（x₀，y₀），由點差法得到M點的坐標滿足的關系式，再由M在直線y=2x+m上，把M的坐標用含有m的代數式表示，消去m得答案．

解答： 解：（1）由題意可知，

a+c=2+ 3 a-c=2- 3

，解得

a=2 c= 3

，
則b²=a²-c²=4-3=1，
∴橢圓方程為

x2

4

+y2=1或

y2

4

+x2=1；
（2）焦點在y軸上的橢圓方程為

y2

4

+x2=1．
設直線l：y=2x+m和橢圓交于P、Q兩點，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ中點M（x₀，y₀），
則

y12

4

+x12=1，

y22

4

+x22=1，
作差得：

(y1-y2)(y1+y2)

4

=-(x1-x2)(x1+x2)，
即

y1-y2

x1-x2

=-

4(x1+x2)

y1+y2

=-

4x0

y0

，
∴-

4x0

y0

=2，y₀=-2x₀  ①，
又點M（x₀，y₀）在直線l：y=2x+m上，
∴y₀=2x₀+m  ②，
聯(lián)立①②得，x₀=-

m

4

，y₀=

m

2

，消去m得：2x₀+y₀=0．
∴M的軌跡方程為2x+y=0．

點評：本題考查了橢圓方程的求法，訓練了點差法求與弦中點有關的問題，訓練了利用消參法取曲線的方程，是中檔題．