Question

【題目】根據(jù)下列條件，分別求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(1)拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線16x2－9y2＝144的左頂點(diǎn)；

(2)拋物線的焦點(diǎn)F在x軸上，直線y＝－3與拋物線交于點(diǎn)A，AF＝5.

Answer 1

【答案】（1）y2＝－12x.（2）y2＝±2x或y2＝±18x.

【解析】試題分析：（1）先將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)方程可得左頂點(diǎn)，即得拋物線焦點(diǎn)，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)直接寫出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程（2）根據(jù)焦點(diǎn)位置可設(shè)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程形式，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)拋物線定義以及點(diǎn)在拋物線上列方程組解得p，即得拋物線方程

試題解析：解：(1)雙曲線方程化為－＝1，左頂點(diǎn)為(－3,0)，由題意設(shè)拋物線方程為y2＝－2px(p>0)，且＝－3，∴p＝6，∴方程為y2＝－12x.

(2)設(shè)所求焦點(diǎn)在x軸上的拋物線的方程為

y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)，

由拋物線定義，得5＝AF＝.

又(－3)2＝2pm，∴p＝±1或p＝±9，

故所求拋物線方程為y2＝±2x或y2＝±18x.

點(diǎn)睛; 待定系數(shù)法求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

(1)根據(jù)拋物線焦點(diǎn)是在x軸上還是在y軸上，設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)條件確定關(guān)于p的方程，解出p，從而寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

(2)當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時，有兩種方法解決．一種是分情況討論，注意要對四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行討論，對于焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，為避免開口方向不確定可分為y2＝2px(p>0)和y2＝－2px(p>0)兩種情況求解．另一種是設(shè)成y2＝mx(m≠0)，若m>0，開口向右；若m<0，開口向左；若m有兩個解，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個．同理，焦點(diǎn)在y軸上的拋物線可以設(shè)成x2＝my(m≠0)．如果不確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，應(yīng)考慮上述兩種情況設(shè)方程．