Question

3．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面為正三角形，E、F分別是BC、CC₁的中點．
（1）證明：平面AEF⊥平面B₁BCC₁；
（2）若D為AB中點，∠CA₁D=30°且AB=4，求三棱錐F-AEC的體積．

Answer 1

分析 （1）由三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，可得AE⊥BB₁，又E是正三角形ABC的邊BC的中點，求出AE⊥BC，又BC∩BB₁=B，則AE⊥平面B₁BCC₁，而AE?平面AEF，即可證得平面AEF⊥平面B₁BCC₁；
（2）由△ABC是正三角形，可得CD⊥AB，又三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，可得CD⊥AA₁，又CD⊥平面A₁ABB₁，則CD⊥A₁D，由題意可求出A₁D，在Rt△AA₁D中，求出AA₁，進一步求出FC，則三棱錐F-AEC的體積可求．

解答 （1）證明：如圖，∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，∴AE⊥BB₁，
又E是正三角形ABC的邊BC的中點，∴AE⊥BC，又BC∩BB₁=B，
∴AE⊥平面B₁BCC₁，而AE?平面AEF，
∴平面AEF⊥平面B₁BCC₁；
（2）解：∵△ABC是正三角形，∴CD⊥AB，
又三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，∴CD⊥AA₁，
∴CD⊥平面A₁ABB₁，則CD⊥A₁D，
由題意可知，∠CA₁D=30°，∴${A}_{1}D=\sqrt{3}CD=\frac{3}{2}AB=6$．
在Rt△AA₁D中，$A{A}_{1}=\sqrt{{A}_{1}{D}^{2}-A{D}^{2}}=4\sqrt{2}$，∴$FC=\frac{1}{2}A{A}_{1}=2\sqrt{2}$．
故三棱錐F-AEC的體積V=$\frac{1}{3}{S}_{△AEC}•FC=\frac{1}{3}×2\sqrt{3}×2\sqrt{2}=\frac{4\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查了兩平面垂直的判定，考查了棱錐的體積，考查了空間想象能力以及計算能力，是中檔題．