Question

4．已知$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1-{x^2}，\;x≤1\\ mlnx，\;x＞1\end{array}\right.$，若函數y=f（x）-x恰有三個零點，則f（m）=e．

Answer 1

分析 判斷函數函數y=f（x）-x，x≤1時，零點個數，然后判斷x＞1時零點個數，轉化求解即可．

解答 解：$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1-{x^2}，\;x≤1\\ mlnx，\;x＞1\end{array}\right.$，
若函數y=f（x）-x恰有三個零點，
在平面直角坐標系畫出y=f（x）與y=x的圖象，
如圖：
當x≤1時，零點有2個數，當x＞1時零點個數為1個，
y=mlnx與y=x只有一個交點，可得y′=$\frac{m}{x}$，切點坐標想，（x，x），
可得m=x，可得x=xlnx，解得x=m=e．
f（m）=elne=e．
故答案為：e．

點評 本題考查函數的導數的應用，函數的零點的求法，考查數形結合以及轉化思想的應用．