Question

已知函數(shù)f（x）=x³-x²-x+a的圖象與x軸僅有一個交點，則a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計算題,導數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：求出導數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間，求出極值，曲線f（x）與x軸僅有一個交點，可轉(zhuǎn)化成f（x）_極大值＜0或f（x）_極小值＞0即可．

解答： 解：函數(shù)f（x）=x³-x²-x+a的導數(shù)為f′（x）=3x²-2x-1，
當x＞1或x＜-

1

3

時，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當-

1

3

＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
即有f（1）為極小值，f（-

1

3

）為極大值．
∵f（x）在（-∞，-

1

3

）上單調(diào)遞增，
∴當x→-∞時，f（x）→-∞；
又f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，當x→+∞時，f（x）→+∞，
∴當f（x）_極大值＜0或f（x）_極小值＞0時，曲線f（x）與x軸僅有一個交點．
即a+

5

27

＜0或a-1＞0，
∴a∈（-∞，-

5

27

）∪（1，+∞）
故答案為：（-∞，-

5

27

）∪（1，+∞）．

點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，以及函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．