Question

在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)P到x軸的距離的平方恰比點(diǎn)P的橫縱坐標(biāo)的乘積小1．記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為C，下列對(duì)于曲線C的描述正確的是

 

①曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
②曲線C關(guān)于直線y=x對(duì)稱；
③當(dāng)變量|y|逐漸增大時(shí)，曲線C無限接近直線y=x；
④當(dāng)變量|y|逐漸減小時(shí)，曲線C與x軸無限接近．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)P（x，y），由題意可得：y²=xy-1，可得曲線C．
①把（-x，-y）代入曲線C得到y(tǒng)²=xy-1，曲線方程不變，即可得出對(duì)稱性；
②把點(diǎn)（y，x）代入曲線C：得到曲線x²=xy-1，即可判斷出曲線C關(guān)于直線y=x不對(duì)稱；
③把曲線C的方程變?yōu)椋?span id="1661166" class="MathJye">

x

y

-

1

y2

=1，當(dāng)變量|y|逐漸增大時(shí)，

1

y2

→0，

x

y

→1，可得曲線C無限接近直線y=x；
④曲線C的方程變?yōu)閤=y+

1

y

，當(dāng)變量|y|逐漸減小時(shí)，x→∞，可得曲線C與x軸無限接近．

解答： 解：設(shè)P（x，y），由題意可得：y²=xy-1，可得曲線C．
①把（-x，-y）代入曲線C得到y(tǒng)²=xy-1，曲線方程不變，因此曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，正確；
②把點(diǎn)（y，x）代入曲線C：得到曲線x²=xy-1，可得曲線C關(guān)于直線y=x不對(duì)稱，不正確；
③把曲線C的方程變?yōu)椋?span id="6111166" class="MathJye">

x

y

-

1

y2

=1，當(dāng)變量|y|逐漸增大時(shí)，

1

y2

→0，

x

y

→1，因此曲線C無限接近直線y=x，正確；
④曲線C的方程變?yōu)閤=y+

1

y

，當(dāng)變量|y|逐漸減小時(shí)，x→∞，因此曲線C與x軸無限接近，正確．
綜上可得：對(duì)于曲線C的描述正確的是①③④．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了曲線的軌跡及其性質(zhì)，考查了推理能力，屬于中檔題．