Question

【題目】如圖，己知圓和雙曲線，記與軸正半軸、軸負(fù)半軸的公共點(diǎn)分別為、，又記與在第一、第四象限的公共點(diǎn)分別為、.

（1）若，且恰為的左焦點(diǎn)，求的兩條漸近線的方程；

（2）若，且，求實(shí)數(shù)的值；

（3）若恰為的左焦點(diǎn)，求證：在軸上不存在這樣的點(diǎn)，使得.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（2）見解析．

【解析】

（1）由圓的方程求出點(diǎn)坐標(biāo)，得雙曲線的，再計(jì)算出后可得漸近線方程；

（2）設(shè)，由圓方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去后整理，可得，

，由先求出，回代后求得坐標(biāo)，計(jì)算；

（3）由已知得，設(shè)，由圓方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去后整理，可解得，，求出，從而可得，由，可知滿足要求的點(diǎn)不存在．

（1）由題意圓方程為，令得，∴，即，∴，，∴漸近線方程為．

（2）由（1）圓方程為，，

設(shè)，由得，(*)，

，，

，

所以，即，解得，

方程(*)為，即，，代入雙曲線方程得，∵在第一、四象限，∴，，

∴．

（3）由題意，，，，，

設(shè)

由得：，，

由得，解得，，

，

所以，

，

，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，

∴軸上不存在點(diǎn)，使得．