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17.已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面,各頂點都在同一球面上,若該球的表面積為12π,AB=2,AC=1,∠BAC=60°,則此三棱柱的體積為6

分析 根據(jù)余弦定理計算BC,可發(fā)現(xiàn)BC2+AC2=AB2,即AC⊥BC.故外接球球心在上下底面斜邊中點的連線中點處,根據(jù)球的面積計算半徑,得出棱柱的高.

解答 解:在△ABC中,BC=AC2+AB22ABACcosBAC=3
∴BC2+AC2=AB2,即AC⊥BC.
∴AB為△ABC所在球的截面的直徑.
取AB,A1B1的中點D,D1,則棱柱外接球的球心為DD1的中點O,
設(shè)外接球的半徑為r,則4πr2=12π,∴r=3
即OB=3,∴OD=OB2BD2=2
∴棱柱的高DD1=2OD=22
∴棱柱的體積V=S△ABC•DD1=12×AC×BC×DD1=12×1×3×22=6
故答案為6

點評 本題考查了直三棱柱與外接球的關(guān)系,根據(jù)棱柱底面三角形的形狀找出球心位置是解題關(guān)鍵.

練習冊系列答案
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