Question

5．甲乙兩人下棋比賽，規(guī)定誰比對方先多勝兩局誰就獲勝，比賽立即結(jié)束；若比賽進(jìn)行完6局還沒有分出勝負(fù)則判第一局獲勝者為最終獲勝且結(jié)束比賽．比賽過程中，每局比賽甲獲勝的概率為$\frac{2}{3}$，乙獲勝的概率為$\frac{1}{3}$，每局比賽相互獨(dú)立．求：
（1）比賽兩局就結(jié)束且甲獲勝的概率；
（2）恰好比賽四局結(jié)束的概率；
（3）在整個(gè)比賽過程中，甲獲勝的概率．

Answer 1

分析 （1）由題意可知比賽兩局就結(jié)束且甲獲勝必須第一、第二局比賽都是甲獲勝，由此能求出比賽兩局就結(jié)束且甲獲勝的概率．
（2）由題意知前兩局比賽為平手，第三、第四局比賽為同一個(gè)人勝，由此能求出恰好比賽四局結(jié)束的概率．
（3）由題意知在整個(gè)比賽過程中第一、第二局比賽兩人為平手，第三、第四比賽兩人也為平手，第五、第六局都為甲獲勝，或者在第一、第二局比賽兩人為平手，第三、第四局比賽兩人也為平手，第五、第六局比賽為平手但第一局是甲獲勝．由此能求出甲獲勝的概率．

解答 解：（1）由題意可知比賽兩局就結(jié)束且甲獲勝必須第一、第二局比賽都是甲獲勝，
∴比賽兩局就結(jié)束且甲獲勝的概率為$P=\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{4}{9}$；…（3分）
（2）由題意知前兩局比賽為平手，第三、第四局比賽為同一個(gè)人勝，
∴恰好比賽四局結(jié)束的概率為$P=C_2^1（{\frac{2}{3}}）（{\frac{1}{3}}）（{{{（{\frac{2}{3}}）}^2}+{{（{\frac{1}{3}}）}^2}}）$=$\frac{20}{81}$；…（7分）
（3）由題意知在整個(gè)比賽過程中第一、第二局比賽兩人為平手，
第三、第四比賽兩人也為平手，第五、第六局都為甲獲勝，
或者在第一、第二局比賽兩人為平手，第三、第四局比賽兩人也為平手，
第五、第六局比賽為平手但第一局是甲獲勝．
∴在整個(gè)比賽過程中，甲獲勝的概率為$P={[{C_2^1（{\frac{2}{3}}）（{\frac{1}{3}}）}]^2}{（{\frac{2}{3}}）^2}+（{\frac{2}{3}}）（{\frac{1}{3}}）{[{C_2^1（{\frac{2}{3}}）（{\frac{1}{3}}）}]^2}=\frac{32}{243}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式的合理運(yùn)用．