Question

16．如圖，邊長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁．
（Ⅰ）求證：AC₁⊥BD；
（Ⅱ）求點A到平面A₁BD的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意畫出圖形，利用線面垂直的判定可得BD⊥平面ACC₁，從而得到AC₁⊥BD；
（Ⅱ）利用等積法即可求得點A到平面A₁BD的距離．

解答 （Ⅰ）證明：如圖，
連接AC交BD于O，
∵底面ABCD為正方形，∴AC⊥BD，
又C₁C⊥底面ABCD，∴C₁C⊥BD，
又AC∩C₁C=C，∴BD⊥平面ACC₁，則AC₁⊥BD；
（Ⅱ）解：在正方體AC₁ 中，∵${A}_{1}B=BD={A}_{1}D=\sqrt{2}a$，
∴${S}_{△{A}_{1}BD}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}a×\sqrt{（\sqrt{2}a）^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{2}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$．
設點A到平面A₁BD的距離為h，則由${V}_{{A}_{1}-ABD}={V}_{A-{A}_{1}BD}$，
得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×a×a×a=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a×h$，
∴h=$\frac{\sqrt{3}}{3}{a}^{2}$．

點評 本題考查點線面間的距離計算，考查空間想象能力和思維能力，訓練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．