Question

5．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＞0，b，c∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）的最小值是f（-1）=0，且c=1，
①求a、b的值；
②解不等式f（x）＞4．
（2）若a=1，c=0，且-1≤f（x）≤1在區(qū)間（0，1]上恒成立，試求b的取值范圍．

Answer 1

分析 分離參數(shù)b，利用函數(shù)的單調(diào)性求出最值，最終求出b的范圍．

解答 解：（1）①$-\frac{2a}=-1，\frac{4ac-^{2}}{4a}=0$
∴$；c=1，\\;a=1，b=2$a=1，b=2，
②∵（x+1）²＞4，
∴x＞1或x＜-3．
（2）由題意知，函數(shù)f（x）=x²+bx，-1≤x²+bx≤1在區(qū)間（0，1]上恒成
即 b≤$\frac{1}{x}-x$且     $b≥-\frac{1}{x}-x$在（0，1]上恒成立．
根據(jù)單調(diào)性可得：$；y=\frac{1}{x}-x$ 的最小值為0，$；y=-\frac{1}{x}-x$ 的最大值為-2．
∴-2≤b≤0，
故b的取值范圍為[-2，0]．

點評 本題主要考查求函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，函數(shù)的恒成立問題，屬于基礎(chǔ)題．