Question

4．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$（n∈N^*），若b_n+1=（n-2λ）（$\frac{1}{{a}_{n}}$+1）（n∈N^*），b₁=-λ且數(shù)列{b_n}是遞增數(shù)列，則實數(shù)λ的取值范圍是λ＜$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)數(shù)列的遞推公式可得數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$+1}是等比數(shù)列，首項為$\frac{1}{{a}_{1}}$+1=2，公比為2，再代值得到b_n+1=（n-2λ）•2ⁿ，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性即可求出λ的范圍．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=$\frac{a_n}{{{a_n}+2}}$（n∈N^*），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{{a}_{n}}$+1，化為$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+1=$\frac{2}{{a}_{n}}$+2
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$+1}是等比數(shù)列，首項為$\frac{1}{{a}_{1}}$+1=2，公比為2，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$+1=2ⁿ，
∴b_n+1=（n-2λ）（$\frac{1}{{a}_{n}}$+1）=（n-2λ）•2ⁿ，
∵b₁=-$\frac{3}{2}$λ，且數(shù)列{b_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，
∴b₂＞b₁，
∴（1-2λ）•2＞-λ，
解得λ＜$\frac{2}{3}$，
故答案為：λ＜$\frac{2}{3}$

點評 本題考查了變形利用等比數(shù)列的通項公式的方法、單調(diào)遞增數(shù)列，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．