Question

【題目】已知為坐標(biāo)原點，點，，，動點滿足，點為線段的中點，拋物線：上點的縱坐標(biāo)為，.

（1）求動點的軌跡曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若拋物線的準(zhǔn)線上一點滿足，試判斷是否為定值，若是，求這個定值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）見解析

【解析】

（1）由題知|PF1|+|PF2|2|F1F2|，判斷動點P的軌跡W是橢圓，寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)平面向量數(shù)量積運算和點A在拋物線上求出拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)出點P的坐標(biāo)，再表示出點N和Q的坐標(biāo)，根據(jù)題意求出的值，即可判斷結(jié)果是否成立．

（1）由題知，，

所以 ，

因此動點的軌跡是以，為焦點的橢圓，

又知，，

所以曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

又由題知，

所以 ，

所以，

又因為點在拋物線上，所以，

所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）設(shè)，，

由題知，所以，即，

所以 ，

又因為，，

所以，

所以為定值，且定值為1.